「基本群」是拓撲學中的一個重要概念，主要用於研究空間的連通性和形狀。它是指在一個拓撲空間中，將所有可能的閉合路徑（從一點出發並回到該點的路徑）進行同倫類別的集合。基本群的元素代表不同的路徑類型，而它的運算則是將這些路徑進行連接。基本群通常用符號 π₁(X, x₀) 表示，其中 X 是拓撲空間，x₀ 是基點。基本群的研究對於理解空間的拓撲性質及其結構具有重要意義。
是拓撲學中的一個基本概念，通常用於描述空間的連通性。基本群的定義涉及到空間中的閉合路徑，這些路徑在同倫意義下被視為相同。這個概念在數學和物理中都非常重要，尤其是在研究空間的形狀和結構時。
例句 1：
基本群能夠幫助我們理解這個空間的連通性。
The fundamental group helps us understand the connectivity of this space.
例句 2：
在研究這個拓撲空間時，基本群是一個關鍵的工具。
The fundamental group is a key tool in studying this topological space.
例句 3：
數學家使用基本群來分析不同空間之間的關係。
Mathematicians use the fundamental group to analyze the relationships between different spaces.
是更一般的概念，通常用於描述空間中更高維度的連通性。與基本群不同，這個概念可以擴展到考慮高於一維的路徑和閉合形式，並用於研究空間的結構。這些群的研究對於理解高維拓撲具有重要意義。
例句 1：
同倫群提供了關於高維空間的連通性的信息。
Homotopy groups provide information about the connectivity of higher-dimensional spaces.
例句 2：
在拓撲學中，同倫群是研究空間結構的重要工具。
In topology, homotopy groups are important tools for studying the structure of spaces.
例句 3：
數學家對同倫群的研究幫助揭示了空間的深層特性。
Research on homotopy groups helps reveal the deeper properties of spaces.
專門用於描述閉合路徑的群體，這些路徑在某個點上開始並結束。這個概念在物理學中也有應用，尤其是在量子場論中，描述粒子的運動和相互作用。
例句 1：
環群在量子場論中扮演著重要角色。
Loop groups play an important role in quantum field theory.
例句 2：
數學家研究環群以了解閉合路徑的性質。
Mathematicians study loop groups to understand the properties of closed paths.
例句 3：
環群的結構可以幫助我們分析粒子的行為。
The structure of loop groups can help us analyze the behavior of particles.