雙曲函數（Hyperbolic Functions）是數學中與雙曲線相關的函數，類似於三角函數與圓的關係。主要包括雙曲正弦函數（sinh）、雙曲餘弦函數（cosh）、雙曲正切函數（tanh）等。這些函數在數學分析、物理學和工程學中有廣泛的應用，特別是在描述波動、熱傳導和其他現象時。
雙曲正弦函數是定義為 (e^x - e^(-x))/2，這個函數在數學和物理中用於描述某些類型的波動和振動。
例句 1：
雙曲正弦函數在計算某些物理現象時非常有用。
The hyperbolic sine function is very useful in calculating certain physical phenomena.
例句 2：
他們用雙曲正弦函數來解釋這個問題。
They used the hyperbolic sine function to explain the problem.
例句 3：
在數學中，雙曲正弦函數的圖形形狀與普通正弦函數不同。
In mathematics, the graph of the hyperbolic sine function is different from that of the regular sine function.
雙曲餘弦函數是定義為 (e^x + e^(-x))/2，這個函數在許多應用中與雙曲正弦函數一起使用。
例句 1：
雙曲餘弦函數在工程學中有很多應用。
The hyperbolic cosine function has many applications in engineering.
例句 2：
在這個例子中，雙曲餘弦函數幫助我們理解了曲線的性質。
In this example, the hyperbolic cosine function helps us understand the properties of the curve.
例句 3：
數學家使用雙曲餘弦函數來解決複雜的微分方程。
Mathematicians use the hyperbolic cosine function to solve complex differential equations.
雙曲正切函數是雙曲正弦函數和雙曲餘弦函數的比值，定義為 sinh/cosh，常用於統計學和神經網絡中。
例句 1：
雙曲正切函數在神經網絡中被廣泛使用。
The hyperbolic tangent function is widely used in neural networks.
例句 2：
這個模型的輸出使用了雙曲正切函數進行標準化。
The output of this model is normalized using the hyperbolic tangent function.
例句 3：
在數學中，雙曲正切函數的圖形呈現出S形的特徵。
In mathematics, the graph of the hyperbolic tangent function exhibits an S-shape characteristic.
這是一個總稱，指所有與雙曲線相關的函數，包括雙曲正弦、雙曲餘弦和雙曲正切等。
例句 1：
雙曲函數在數學分析中非常重要。
Hyperbolic functions are very important in mathematical analysis.
例句 2：
許多物理現象可以用雙曲函數來描述。
Many physical phenomena can be described using hyperbolic functions.
例句 3：
學習雙曲函數對於理解高級數學概念是必要的。
Learning hyperbolic functions is essential for understanding advanced mathematical concepts.